Cercle Frédéric Bastiat

2018-01-14 12:01:53

POUR UN RETOUR AUX MATHÉMATIQUES MODERNES ?

, par Thierry Foucart

POUR UN RETOUR À LA THÉORIE DES ENSEMBLES

La réforme des « mathématiques modernes » a été appliquée progressivement à partir de 1965 dans l’ensemble du système éducatif. Elle consistait enseigner la théorie des ensembles et son objectif était de promouvoir l’esprit logique, le raisonnement déductif et la capacité d’abstraction des élèves tout en améliorant leur niveau de mathématiques. Mal comprise, elle a été abandonnée en 1985. Depuis, le niveau en mathématiques a fortement chuté. Le retour de l’obscurantisme et de l’escroquerie intellectuelle lui donne un regain d’intérêt et pose la question de rétablir leur enseignement.

1. Les mathématiques modernes

Les « mathématiques modernes » désignent une approche particulière des mathématiques caractérisée par la « théorie des ensembles ».
Issues des travaux de Cantor (1845-1918) et plus tard, en France, de mathématiciens regroupés sous le nom de Nicolas Bourbaki (André Weil, Émile Cartan …), la « théorie des ensembles » est fondée sur le concept d’ensemble, que l’on définit par une collection d’objets, appelés éléments, liés par une relation d’appartenance à cet ensemble. Ces ensembles sont en général des ensembles de nombres, de points, de fonctions et même d’ensembles. Cette théorie se prête particulièrement bien au raisonnement logique (Russell, Gödel …), à l’analyse de l’infini (Cantor, Hilbert…). La théorie des ensembles en étudie les propriétés (par exemple, de deux nombre entiers, l’un est toujours supérieur ou égal à l’autre), et aboutit à la notion de structure (la structure d’ordre total de l’ensemble des entiers). Tous les ensembles possédant une même structure possèdent les propriétés qui en sont déduites. La structure, indépendante de la nature de l’ensemble et de ses éléments, est un concept abstrait. L’intérêt de cette théorie dans les sciences humaines, est de faciliter la recherche de structures dans les faits sociaux et comportements humains caractéristiques de l’humanité (structuralisme).
La théorie des ensembles a été enseignée dans les écoles, collèges et lycées en France à partir de 1965, puis rapidement abandonnée dans les faits par les enseignants et officiellement beaucoup plus tard en 1985. Cet abandon est aussi celui de leur finalité qui était de développer le raisonnement logique sur des concepts mathématiques complètement abstraits et d’apprendre aux élèves à utiliser un langage précis pour les décrire et les étudier.
Le degré d’abstraction de cette théorie est évidemment très élevé et est à l’origine de l’échec de cette réforme, due aussi à l’inadaptation du public scolaire à l’apprentissage d’une théorie portant sur des concepts et à l’incompréhension de ses objectifs par une grande partie des enseignants et des parents. En effet, au niveau de l’école primaire, c’est sur l’observation des choses et l’expérimentation que la pédagogie s’appuie, pas sur l’abstraction inaccessible aux jeunes enfants. Au niveau des collèges et lycées, les mathématiques modernes ont été introduites au moment même où les gouvernements successifs ont allongé la durée de la scolarité obligatoire à seize ans, y faisant entrer des élèves bien plus intéressés par les sciences et technologies pour trouver un emploi que par des mathématiques abstraites proches du monde des Idées de Platon.

2. Mathématiques pures et appliquées

Tout au long de ma carrière d’universitaire, on m’a posé souvent des questions sur les mathématiques : à quoi servent-elles concrètement ? Qu’apportent-elles à la société ? Qu’est-ce que la recherche en mathématiques ? …
Les réponses à ces questions nécessitent au préalable de définir les mathématiques. Dans les définitions classiques (Le Petit Larousse, le Centre national de ressources textuelles et lexicales, Wikipedia), ce qui caractérise les mathématiques est le raisonnement logique, appelé aussi la méthode déductive ou encore le raisonnement déductif et l’abstraction des objets qu’elles étudient.
Le raisonnement logique n’est pas réservé aux mathématiciens. Il caractérise la méthode scientifique, dans les sciences de la matière et de la nature, les sciences appliquées et les sciences de l’homme et de la société. Le syllogisme fondamental (A implique B, B implique C, donc A implique C), est le principe de toute déduction. Tous les raisonnements logiques suivent ce syllogisme, comme le raisonnement par l’absurde. Les mathématiques ajoutent à la logique mathématique des hypothèses initiales appelées axiomes et les mathématiciens en déduisent les propriétés des objets qu’ils étudient.
Ce raisonnement logique est différent du raisonnement par analogie, qui ne montre qu’une coïncidence et ne produit qu’une intuition, qu’une interrogation : comparaison n’est pas raison. Il n’est pas discutable lorsque les objets étudiés sont abstraits, idéalisés : tous les mathématiciens travaillant sur les mêmes hypothèses doivent parvenir aux mêmes résultats même si les démonstrations sont différentes. L’abstraction des objets donne aux mathématiques une valeur universelle : c’est pour cette raison que les mathématiques sont l’outil d’apprentissage par excellence du raisonnement logique.
La recherche, en mathématiques comme dans les autres sciences, est le produit de la volonté de savoir du scientifique. Par exemple, on sait que 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 5. La question que se pose immédiatement le chercheur est la suivante : existe-t-il d’autres nombres entiers a, b, c vérifiant a² + b² = c² ? La réponse est oui (6, 8 et 10, ou encore 9, 12 et 15, ou 12, 16 et 20 …). Autre question : peut-on tous les connaître ? Oui, mais c’est un peu plus compliqué. Dernière question : peut-on trouver trois nombres tels que an + bn = cn ? Il a fallu attendre 1994 pour que la réponse à cette question, posée par Fermat au 17e siècle, soit donnée par le mathématicien anglais Wiles : c’est non pour n supérieur ou égal à 3. La démonstration est accessible à un petit nombre de mathématiciens (dont je ne fais pas partie !). À quoi cela sert-il ? Pour l’instant, peut-être à rien. Mais dans l’avenir, on n’en sait rien : l’équation de Navier Stokes publiée en 1846 était inutile à son époque mais est devenue maintenant fondamentale. C’est elle qui permet de définir la forme des ailes d’avion.
Comme le montre ce dernier exemple, l’intérêt des mathématiques ne se limite pas à la formation intellectuelle. Elles sont indispensables à l’analyse scientifique du monde qui nous entoure : il ne suffit pas de savoir observer et raisonner, il faut aussi savoir mesurer et calculer.
Il s’agit alors de mathématiques « appliquées », par opposition aux mathématiques « pures ». Les méthodes de mathématiques appliquées sont fondées sur la représentation de faits réels par des objets théoriques et sur l’expression des relations observées entre ces faits par des équations entre ces objets. Ces représentations toujours approximatives donnent un caractère relatif aux résultats établis. Les mathématiques appliquées donnent une vérité scientifique d’autant moins universelle que les observations et les relations sont représentées par des objets et des équations plus complexes et donc plus discutables. C’est le principe de parcimonie appelé encore rasoir d’Ockham, qui explique les limites des mathématiques appliquées dans les sciences de l’homme et de la société.

3. L’enseignement des mathématiques et la sélection par les maths

Une autre interrogation fréquente concerne l’enseignement des mathématiques. Effectivement, dans la vie courante, personne ne les utilise : tout calcul élémentaire est effectué par une calculatrice, tout calcul compliqué par ordinateur. Dans la vie professionnelle, les mathématiques sont appliquées à l’aide de logiciels souvent sans que l’utilisateur connaisse précisément la méthode programmée.
Les Grecs (Pythagore, Platon, Aristote etc.) les voyaient plus comme une philosophie qu’une science, même s’ils en appliquaient certains résultats (en architecture : le pavage des temples, le nombre d’or, … en astronomie : forme de la Terre, circonférence, éclipses…). Cette philosophie fondée sur la logique paraissait très utile aux révolutionnaires de 1789 comme Condorcet, convaincus que la rationalité empêche le retour de l’obscurantisme, et dangereuse aux religieux, qui y voyaient une contestation de l’existence de Dieu. Sur ce dernier point, Blaise Pascal et bien d’autres mathématiciens et scientifiques ont montré par leur vie que la foi et les mathématiques ne sont pas du tout incompatibles.
Que peut-on dire de « la sélection par les maths » ? En ce qui me concerne, je n’y crois pas ; tout le monde a la capacité de tenir un raisonnement logique, parce que c’est le raisonnement naturel. J’y vois une formule facile qui donne une excuse à l’échec en jouant sur la réputation de difficulté surfaite donnée aux mathématiques.
Les difficultés en mathématiques rencontrées par les élèves viennent du fonctionnement de l’école qui, en n’exigeant pas les connaissances nécessaires pour accéder au niveau supérieur, condamne les élèves en difficulté à accentuer leur retard. Une lacune à un niveau donné empêche de comprendre le niveau suivant : il faut savoir additionner pour multiplier, multiplier pour diviser, diviser pour réduire une fraction etc. La « bosse des maths » n’est pas plus génétique que le goût de l’histoire : c’est en travaillant et en s’investissant intimement dans une activité que l’on développe les aptitudes nécessaires pour y réussir.
Le processus d’orientation scolaire est aussi responsable de cette prétendue sélection : le caractère apparemment incontestable de l’évaluation d’un travail en mathématiques transforme ces dernières en outil facile de sélection.

4. Le retour nécessaire de la théorie des ensembles

Le refus de la « sélection par les maths » a pour conséquence le remplacement de la rationalité par des raisonnements fondés sur des comparaisons ou des fantasmes, des interprétations de coïncidences sans aucun esprit critique, un intérêt financier caché et même des logorrhées complètement hystériques. Les réseaux sociaux, les radios et télévisions, les journaux et les livres contiennent souvent ce genre de discours. C’est un retour de l’obscurantisme et de l’escroquerie intellectuelle.
C’est pour cette raison que la réintroduction d’un enseignement de la logique et de l’esprit critique est nécessaire. Évidemment, le contexte économique et social actuel n’y est guère favorable : l’insertion professionnelle des jeunes est la préoccupation principale des parents et des responsables politiques, et la formation intellectuelle n’est pas prioritaire à leurs yeux. De ce point de vue, développer la capacité d’abstraction n’est guère utile dans l’enseignement professionnel et technique, et la rationalité est apprise par la manipulation des choses, et non de concepts.
La situation est différente dans l’enseignement général, au niveau du lycée. La contestation de « la sélection par les maths » a comme conséquence le passage en seconde dans un lycée d’enseignement général d’élèves de troisième en échec total en mathématiques. L’argument est surprenant : les élèves dans cette situation pourront choisir une filière littéraire d’où les mathématiques sont absentes, ou réussiront malgré leur faiblesse. Le résultat est que l’on donne le baccalauréat à des élèves qui n’ont pas acquis le raisonnement rationnel, dont l’esprit critique est limité et qui sont en difficulté devant des théories abstraites : c’est une explication des échecs dans les premières années de l’Université.
Les études supérieures conduisent en effet à des professions comme journalistes, enseignants, chercheurs, fonctionnaires dans les administrations publiques, avocats, médecins etc. Ces professions nécessitent un esprit rationnel et critique ainsi qu’une forte capacité d’abstraction pour analyser ou régler des problèmes économiques, sociaux, humains, compétences qui sont justement l’apanage de la théorie des ensembles.
C’est donc au niveau du lycée d’enseignement général qu’il faut développer ces capacités intellectuelles, et à partir de la classe de troisième des collèges qu’il faut réintroduire la théorie des ensembles pour que les orientations des collégiens soient faites suivant leurs choix et capacités personnels. Ce que l’on peut envisager, c’est de proposer aux élèves de troisième un enseignement de la théorie des ensembles et de conditionner l’entrée en seconde générale à l’acquisition d’une capacité d’abstraction et d’un esprit logique suffisants.

5. Autres conséquences

Les élèves admis en seconde générale acquièrent alors les aptitudes nécessaires à une poursuite d’études abstraites : maîtrise du raisonnement logique, du langage, esprit critique, et capacité d’abstraction. Le baccalauréat général garantit cette acquisition : la sélection à l’entrée de l’université pour poursuivre des études générales, actuellement nécessaire, devient superflue. Cela résout au moins en partie les problèmes financiers des universités dus partiellement à l’afflux d’étudiants inadaptés aux études supérieures qu’ils veulent poursuivre.
Au plan de l’enseignement technique, cette sélection n’est acceptable que si l’enseignement dans cette filière d’une part ouvre réellement la porte à l’emploi– c’est le but de l’apprentissage – et d’autre part favorise la poursuite d’études supérieures technologiques (DUT, BTS, licence pro, écoles d’ingénieurs etc.). Ces filières existent déjà, mais sont dévalorisées par rapport aux filières générales, alors que ce sont elles qui créent de l’emploi, de la richesse matérielle, et qui financent les activités non marchandes.
On peut s’attendre à une baisse du nombre d’étudiants dans les filières générales, compensée par un taux d’échecs plus faible au niveau de la première année de l’université, à une augmentation des effectifs dans les filières technologiques, et à l’amélioration générale des niveaux de compétence acquis.

6. Égalité des chances

Ce qui est proposé ci-dessus, c’est de donner à la théorie des ensembles un rôle analogue à celui que le latin et le grec exerçaient jadis, en évitant la discrimination sociale inhérente aux langues anciennes. C’est de rétablir une exigence intellectuelle accessible à tous les élèves pour rétablir une égalité des chances a priori et d’abandonner l’objectif méprisant de l’égalité des résultats a posteriori. En faisant démontrer, dans le Ménon, le théorème de Pythagore par un esclave sous la direction de Socrate, Platon montre que la logique et l’abstraction sont accessibles à tous.
Le cerveau est l’organe biologique de l’intelligence : il se construit, se développe, s’adapte et s’éduque, comme le muscle. Pourquoi ne pas faire pour lui ce que l’on fait pour le muscle ?

Thierry Foucart